Как мультиметром проверить твердотельное реле?

залипли от сильного тока при коммутации, попробуй сильно постучать об стол, привязав короткий поводок (береги выводы).

может питание неправильно подключил? или напряжения мало?

Без питания 8-9 не должны звониться с 1-14.

… скорее сдохла …

Судя по картинке, реле обычное с катушкой и механическими контактами, если контакты замкнуты в независимо от подачи напряжения скорее всего прилипли, иногда можно хорошо стукнуть по корпусы и реле начинает работать, правда редко 8)

Спалить невозможно. Если только тока отвалить до упора. И то поправимо. Диод можно отжечь до конца.

Подноси к нему магнит и слушай: щелкнет — сработало; после проверяй уже напряжением.
Не щелкнуло — возьми сильный неодимовый магнит: щелкнет — сработало; после проверяй уже напряжением.
Не щелкнуло — ударь об стол …
Все равно не работает — замени на новое.

Кстати — реле не твердотельное, а электромагнитное, скорее всего герконовое, так что щелкает очень тихо, слушай хорошо.