Как называется третья нота в гамме соль мажор?

В этой русской народной песне — тональность «Соль» мажор.
В самой гамме соль мажор присутствует один ключевой знак — «фа-диез». Означает это только то, что чистая нота «фа» играется и звучит на полтона выше. Как и в любом мажоре, в соль мажор ноты следуют единому принципу построения гаммы в соотношении тонов и полутонов: тон-тон-полутон-три тона и полутон (как стихотворение) — Читайте подробнее на FB : fb /article/161912/gamma-sol-major-sol-major-notyi
В скрипичном ключе, семь знаков альтерации «диез» распределяются в определённой последовательности:
Фа, ДО, Соль, Ре, Ля, Ми, Си. Знаки «бемоль» — в обратной последовательности.
В басовом ключе — всё наоборот…
Правило: «До мажор и Ля минор – тональности без ключевых знаков (чистые)» — знают все.

Чтобы определить какая тональность музыкального произведения, достаточно посмотреть, сколько знаков стоит при ключе, например, если стоит три знака «диез», а это будут только -Фа, До, Соль, значит тональность «Ля мажор» (нужно подняться на одну ступень выше от ноты «Соль» (тоника).
В Вашем примере, при скрипичном ключе стоит только один зак «Фа диез», значит, поднимаясь на одну ступень вверх будет нота «Соль», стало быть, тоникой этой песни будет нота «Соль», а лад — мажор, т. е. тональность «Соль мажор».
И наоборот: чтобы определить сколько знаков будет стоять при ключе, следует опуститься на одну ступень вниз от тоники. Например: в тональности «Ре мажор», опускаемся вниз — будет нота «До» и при ключе должны стоять только два знака диеза, а именно «Фа» и «До»

Почему диеза удостоился только фа второй октавы? Потому что в ключе так написано? Ну это так пишется. Зачем повторять и так ясно, что все фа — фа диез.

Ничего не соображаешь, а уже тональность видишь.
Даже две.
Хотя тут одна.
Читай Вахрамеев «Элементарная теория музыки»

Есть общепринятая запись знаков при ключе, договорились вот так, что фа-диез при ключе надо писать во второй октаве, и знак при ключе автоматически распространяется на ВСЕ октавы, так тоже принято, это всё для удобства записи.

Ключевой знак альтерации распространяется на все ноты во всех октавах на протяжении всего произведения.